«Математическая регата» 7 классы

Регата, проведенная на «сдвоенном» уроке (7 класс)

Основные учебные цели: закрепить имеющиеся навыки, систематизировать и расширить знания учащихся по темам: «Основные геометрические понятия», «Графики функций», «Делимость целых чисел».

Первый тур (каждая задача – 6 баллов)

1.1. На прямой отмечены точки А, В, С и D так, что АВ = СD. Существуют ли другие пары равных отрезков с концами в заданных точках? Ответ обоснуйте.

1.2. Постройте график функции у = 4 – | х |.

1.3. Вычислите сумму 1 + 4 + 7 + ... + 97 + 100.

Второй тур (каждая задача – 7 баллов)

2.1. Биссектриса угла АВС образует со стороной угол, который равен углу, смежному с углом АВС. Найдите градусную меру угла АВС.

2.2. Постройте график функции

2.3. К числу 43 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

Третий тур (каждая задача – 8 баллов)

3.1. Из пункта А в пункт F ведет прямолинейная дорога длиной 35 км. Остановки автобуса расположены в точках В, С, D, Е. Известно, что АС = 12 км, ВD = 11 км, СЕ = 12 км, DF = 16 км. Найдите расстояния: АВ, ВС, СD, DЕ и ЕF.

3.2. На координатной плоскости построены пять прямых, каждая из которых является графиком прямой пропорциональности. Прямые проходят через точки А(–3; 7,5); В(2; –2); С(3,2; –6,4); D(–2; –3); Е(5; 8). Задайте формулой каждую из функций.

3.3. Делится ли число Ответ обоснуйте.

Четвертый тур (каждая задача – 9 баллов)

4.1. Определите, верны ли следующие утверждения (ответы обоснуйте).

а) Если луч ОА образует со сторонами угла ВОС равные между собой углы, то он является биссектрисой угла ВОС.

б) Если два угла имеют общую вершину и их биссектрисы являются дополнительными лучами, то эти углы вертикальные.

в) Если биссектрисы двух равных углов лежат на одной прямой, то эти углы – вертикальные.

4.2. Средний возраст одиннадцати футболистов – 22 года. Во время игры один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?

4.3. m = 44 ... 4; n = 33 ... 3.

а) Можно ли подобрать такие m и n, чтобы число n было делителем числа m?

б) Можно ли подобрать такие m и n, чтобы число m было делителем числа n?

Ответы обоснуйте.

Ответы и решения

1.1. Пусть данные точки расположены на прямой так, как показано на рис. 1. Тогда, если АВ = СD, то АС = АD – СD = АD – АВ = ВD. (Возможно и другое взаимное расположение точек на прямой.)

Ответ: существуют, например, АС = ВD.

1.2. См. рис. 2.

1.3. Если S = 1 + 4 + 7 + ... + 97 + 100, то S = 100 + 97 + ... + 7 + 4 + 1, тогда 2S = (1 + 100) + (4 + 97) + ...+ (97 + 4) + (100 + 1),

где число пар равно (100 + 2):3 = 34, значит, S = 1717.

Ответ: 1717.

2.1. См. рис. 3. Углы АBD и CBD равны, так как BD – биссектриса угла ABC. Угол ЕВС – смежный с углом АВС, по условию углы ABD и EBC равны. Значит, РАВD = РDBC = ÐCBE. ÐАВС + ÐCBE = 180^o (по свойству смежных углов), но ÐАВС = 2ÐАВD, то есть 3ÐCBE = 180^o, следовательно, ÐCBE = 60^o, а ÐАВС = 120^o.

Ответ: ÐАВС=120^o.

2.2. у = 1, если х ¹ 5 (см. рис.4).

2.3. Число делится на 45, значит, оно делится на 5 и на 9. Так как число делится на 5, то b (последняя цифра) равна 0 или 5. Сумма цифр числа равна а + 4 + 3 + b = а + 7 + b. Пользуясь признаком делимости на 9, получаем, что если b = 0, то а = 2; если b = 5, то а = 6. Ответ: 2430 или 6435.

3.1. См. рис. 5:

AB = AF – (BD + DF) = 35 – (11 + 16) = 8 (км);
BC = AC – AB = 12 – 8 = 4 (км);
CD = BD – BC = 11 – 4 = 7 (км);
DE = CE – CD = 12 –7 = 5 (км);
EF = DF – DE = 16 – 5 = 11 (км).

Ответ: AB = 8 км; ВС = 4 км; СD = 7 км; DE = 5 км; EF = 11 км.

3.2. Прямо пропорциональная зависимость задаётся формулой вида: у = kх, где k ¹ 0 (см. рис.6).

Тогда, если х ¹ 0, то .

Ответ: у = – 2,5х; у = – х; у = – 2х; у = 1,5х; у = 1,6х.

 3.3. Сумма цифр данного числа: 6•1998 = 2•3•3•666 = 2•666•9 делится на 9, следовательно, число делится на 9.

Ответ: делится.

4.1. Утверждения а) – в) неверны, что показывают следующие примеры (см. рис. 7).

4.2. До травмы сумма возрастов игроков 22•11 = 242 (года), после травмы – 21•10 = 210 (лет). Возраст игрока, ушедшего с поля, равен 242 – 210 = 32 (года).

Ответ: 32 года.

4.3. а) можно, например, m = 444, n = 3.

б) нельзя, так как число m делится на 2, а число n не делится на 2.

Регата, проведенная во внеурочное время

Первый тур (каждая задача – 6 баллов) {6-7 классы}

1.1. Решите ребус (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, различным буквам – различные цифры):
Б + БЕЕЕ = МУУУ.

1.2. Верно ли, что: а) фигуры с равными площадями имеют равные периметры; б) фигуры с равными периметрами имеют равные площади? Ответы обоснуйте.

1.3. 4 коровы черной масти и 3 коровы рыжей масти за 5 дней дали такое же количество молока, что и 3 коровы черной масти и 5 коров рыжей масти за 4 дня. Какие коровы более производительны – черные или рыжие?

Второй тур (каждая задача – 7 баллов)

2.1. Числа a и b – целые. Известно, что a + b = 100. Может ли сумма 7a + 3b быть равна числу 627?

2.2. Нарисуйте, как разрезать квадрат на два равных:

а) пятиугольника; б) шестиугольника.

2.3. Жители города А говорят только правду, жители города В – только ложь, а жители города С – попеременно правду и ложь (то есть, из каждых двух высказанных ими утверждений, одно истинно, а другое ложно). В пожарную часть сообщили по телефону: «У нас пожар, скорее приезжайте!». «Где?» – спросил дежурный по части. «В городе С», – ответили ему. В какой город должна приехать пожарная машина, если известно, что через час после ее приезда пожар был потушен?

Третий тур (каждая задача – 8 баллов)

3.1. С любым числом, записанным на доске, разрешается производить следующие операции: 1) заменять его числом, которое в два раза больше; 2) стирать его последнюю цифру. Как с помощью этих операций из числа 458 получить число 14?

3.2. Вокруг небольшого курортного городка расположены три озера различных размеров, имеющие форму круга. В каком бы направлении ни пошел отдыхающий (по прямой), то он обязательно через некоторое время оказывался на берегу одного из озер. Нарисуйте план этой местности, обозначив городок на нем – точкой, если известно, что городок расположен не на острове.

3.3. В колонию, состоящую из двухсот бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию, затем делится на два новых вируса, и одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и затем каждый из вирусов и каждая из оставшихся бактерий снова делятся пополам, и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или, если она в конце концов погибнет, то через какое время это произойдет?

Четвертый тур (каждая задача – 9 баллов)

4.1. В одной из историй, которую приписывают Иосифу Флавию, воину древней Иудеи, а впоследствии – известному историку, описано, как он попал в плен к римлянам вместе с дюжиной своих подчиненных. Пленных поставили в круг, объявив, что оставят в живых только одного из них. Иосифу приказали назвать натуральное число, большее тринадцати, затем, начиная с него, считали по кругу, и убивали того, на кого «выпадало» названное Иосифом число. После этого отсчет начинали заново, и убивали следующего, на кого это число выпадало. Какое наименьшее число мог назвать Иосиф Флавий, если в итоге – он единственный из пленных, кто остался в живых?

4.2. Нарисуйте 8 точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались и через каждую точку проходило ровно 4 отрезка.

4.3. Из пункта А в пункт В ведет единственная дорога длиной 15 км. В 9 часов 30 минут со скоростью 4 км/ч из А в В отправился пешеход. На следующий день, выйдя в 11 часов, он отправился в обратный путь со скоростью 5 км/ч. Оба раза пешеход перешагивал через единственный ручей, пересекающий дорогу, в одно и то же время. В котором часу это было?

 Ответы и решения

1.1. Так как при сложении данных чисел цифра Е в разряде десятков поменялась на цифру У, то суммой однозначных чисел Б и Е является двузначное число, начинающееся с единицы. Так как, помимо увеличения на единицу цифры в разряде десятков, также изменилась и цифра в разряде сотен, то Е = 9, Б = 1, У = 0.

Ответ: 1 + 1999 = 2000.

1.2. а) Ответ: нет. Пример: прямоугольник со сторонами 2 и 8 и квадрат со стороной 4.

б) Ответ: нет. Пример: прямоугольник со сторонами 2 и 6 и квадрат со стороной 4.

1.3. 4 коровы черной масти и 3 коровы рыжей масти за 5 дней дают столько же молока, сколько 20 коров черной масти и 15 коров рыжей масти за один день. 3 коровы черной масти и 5 коров рыжей масти за 4 дня дают столько же молока, сколько 12 коров черной масти и 20 коров рыжей масти за один день. Получилось, что 8 коров черной масти дают столько же молока, сколько 5 коров рыжей масти, т.е. рыжие коровы производительнее, чем черные. Данные рассуждения могут быть также записаны с помощью переменных: пусть каждая корова черной масти дает х литров молока в день, а каждая корова рыжей масти – у литров молока в день. По условию имеем равенство:

(4х + 3у)•5 = (3х + 5у)•4;  8х = 5у.

Следовательно, у > х.

Ответ: рыжие.

2.1. Так как сумма чисел a и b является четным числом, то эти числа имеют одинаковую четность. Значит, и числа 7a и 3b тоже имеют одинаковую четность, следовательно, их сумма должна быть четной. 627 – нечетное число, значит, заданная сумма не может быть равна числу 627.

Ответ: не может.

2.2. Ломаные проходят через центр квадрата, например, см. рис. 8.

2.3. Для того, чтобы узнать, куда отправить пожарную машину, нужно выяснить из какого города был звонок, так как в условии сказано, что информация о пожаре – истинна. Если звонок был из А, то второй ответ оказался бы ложным, что невозможно для жителей города А. Если звонок был из В, то фраза «у нас пожар» означает, что пожар либо в А, либо в С; фраза в «городе С» означает, что пожар точно не в С; значит, пожар в городе А. Если звонок был из С, то оба утверждения либо истинны, либо ложны одновременно, что невозможно для жителей города С. Ответ: в город А.

3.1. Существует много различных способов. Один из них: умножим число 458 на 2 последовательно пять раз и получим число 14656, затем сотрем три последние цифры, и получим число 14.

3.2. Достаточно взять три луча с общим началом в точке, обозначающей городок, делящие плоскость на три части, и произвольные окружности, вписанные в образовавшиеся углы (см. рис. 9).

3.3. Представим себе, что каждый вирус имеет дело со «своей» колонией бактерий. Тогда к исходу первой минуты на каждый вирус будет приходиться по 199 бактерий, к исходу второй минуты – по 198 и так далее, к исходу 199-й минуты – по одной бактерии, к исходу 200-й минуты бактерий не останется.

Ответ: колония погибнет через 200 минут.

4.1. Искомое число не должно при делении на 13, 12, ..., 3 и 2 давать остаток 1. Значит, число, на единицу меньшее названного, не должно быть кратно ни одному из чисел от 2 до 13. Наименьшее из таких чисел – 17, то есть Иосиф назвал число 18.

Ответ: 18.

4.2. Ответ: например, так, как на рис. 10.

4.3. За первые 1,5 ч своего движения из пункта (с 9 ч 30 мин до 11 ч) пешеход пройдет 6 км. Из условия следует, что ручей не может находиться на пройденном им участке. Обозначим С – точку дороги, в которой пешеход окажется в 11 ч. Расстояние от С до В равно 9 км. Ручей должен располагаться в точке, время движения до которой одинаково как по пути из С в В, так и по пути из В в С. Представим себе, что из двух пунктов, расстояние между которыми 9 км, одновременно в 11 часов навстречу друг другу начали движение два пешехода, скорости которых 4 км/ч и 5км/ч. Тогда их встреча произойдет через час, т. е. они встретятся в 12 часов, пересекая ручей.

Ответ: 12 часов.

Литература

1. А.А. Бучин, И.В. Ширстова. Организация соревнований по математике (из опыта работы). Приложение «Математика» к газете «Первое сентября», № 10/97.
2. А.Д. Блинков, А.А. Бучин, П.В. Чулков, И.В. Ширстова. Вторая межшкольная математическая регата. Приложение «Математика» к газете «Первое сентября», № 45/99.
3. А.Д. Блинков, П. В. Чулков. «Турниры Архимеда». – М.: ИЛКиРЛ, 1997.
4. Задачи для внеклассной работы V – VI классах: Пособие для учителей/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А.Л. Гавронского. – М.:МИРОС, 1993.
5. Д.В. Клименченко. Задачи по математике для любознательных: Кн. для учащихся 5 – 6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992.
6. Ю.М. Колягин, М.Р. Леонтьева, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, В.Н. Руденко, А.В. Соколова. Сборник задач по алгебре для 6-8 классов: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1975.
7. Л.М. Лоповок. Факультативные задания по геометрии для 7-11 классов. – Киев: «Радянська школа», 1990.
8. Сборник материалов пятого турнира «Математика 6 – 8» журнала «Квант». – Кострома: РЦ НИТ «Эврика – М», 1999.
9. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся V – VI классов. – М.: МИРОС, 1992.