Тема: "Применение пропорциональности. Золотое сечение". (6 класс)

Место урока в теме: урок проводится после изучения темы "Пропорция" в 6 классе.

Цели занятия:

Развивающая: Развивать чувство видеть гармонию среди чисел, фигур, растений, красоту архитектуры и человеческого тела.
Обучающая: Рассмотреть практическое применение пропорциональности в физике, архитектуре, природе, математике. Научиться строить "Золотое сечение" и применять его для построения правильных десятиугольников и пятиугольников. Добиться, чтобы все ученики смогли создавать красивые "Звезды".
Воспитывающая: Воспитывать мысль: "Все гениальное просто. Все простое можно постигнуть, чтобы создать гениальное".

Домашнее задание:
1. Попробовать нарисовать звезду.
2. Двум учащимся художественной школы поделиться опытом применения пропорциональности размеров при создании рисунка.

Оборудование:
1. Рычажные весы. На чашечных весах одинаковые гири. Весы в равновесии.
2. Рычаг в равновесии:
    М₁/М₂=L₂/L₁
    M₁ = 100 г, М₂ = 200 г,
    L₂ = 5 см, L₁ = 10 см.
3. На скрытой части доски записаны условия задач.
   300 г/100 г = ?/20 см
   2 кг/5 кг = 6 м/?
   400 г/? = 40 см/10 см
4. Рисунок модели рычага для земного шара.
5. Рисунок пропорционально сложенного человеческого тела.
6. Рисунок цветка.
7. Математический энциклопедический словарь.

Ход урока.

I. Определение целей урока:

Учитель: "Мы изучили тему "Пропорциональность". Пропорция - "Соразмерность", "Определенное соотношение частей между собой". Для чего мы применяли пропорцию?"

Предполагаемые ответы:
1. Для определения равенства дробей, отношений.
2. Для решения пропорций.
3. Для нахождения неизвестного члена пропорции.
4. Для решения задач на прямую и обратную пропорциональность.
5. Для решения задач на проценты.

А есть ли другие применения этого понятия? Наверное есть. Вот мы и рассмотрим некоторые из них, заглянув в историю, физику, биологию, архитектуру, живопись и, естественно, не будем забывать, что у нас занятия факультативна "Путешествие в историю математики". А главное мы попробуем раскрыть тайну чисел Фибоначчи, тайну "золотого сечения", научимся строить "красивые звезды", выясним секреты рычага.

Удивительно, но я не произнесла слова "Пропорциональность", "Пропорция", а в ходе урока и конце урока вы сами определите их наличие в этих понятиях, я предлагаю провести несколько исследований.

II. Изучение применения пропорциональности:

Исследование 1: Учитель показывает чашечные весы в равновесии и рычаг в равновесии. Почему весы и рычаг в равновесии, хотя на весах - одинаковые грузы, а на рычаге - разные.
Идет поиск истины:
Если расстояние до подвешенных гирь больше, то вес самих гирь для равновесия должен быть меньше, а если расстояние меньше, то вес гирь для равновесия должен быть больше. Меряют расстояние от точек, где подвешены гири, до точки опоры рычага. Это расстояние называют "Плечо рычага".

L₁ = 10 см, М₁ = 100 г.

L₂ = 5 см, М₂ = 200 г.

Составляют равные отношения вида 10/5=200/100 и такого М1·L1=M2·L2.

Учитель предлагает сформулировать правило равновесия рычага. Если составленная пропорция верна, то рычаг будет находиться в равновесии.

Учитель предлагает решить следующие задачи (тексты задач в виде пропорций заранее записаны на доске):
1. 300 г/100 г=?/20 см;
2. 400 г/?=40 см/10 см;
3. 2кг/5кг=6м/?.
4. Прав ли был Архимед, сказав: "Дайте мне точку опоры и я переверну Землю"?
5. Где еще применяется рычаг? (заслушать несколько примеров).

Учитель: Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определённых соотношений между размерами отдельных частей растений, скульптуры, зданий и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Проведем исследование.

Исследование 2: исследование гармонии размеров красиво сложенного человеческого тела.

Ученикам предлагается с помощью микрокалькулятора по чертежу человеческого тела найти следующие отношения размеров:
43,2/69,8 =0,6189=0,62
69,8/113=0,6176=0,62
113/182,8=0, 6181=0,62
Такие отношения в размерах человеческого тела принято считать пропорциональными, гармоническими.

Найдем такую гармонию среди чисел:

Исследование 3: Найдите отношения чисел:

Как составлены эти отношения? Раскройте тайну образования каждой дроби из предыдущей. Неправда ли, что эти числа находятся в большой гармонии? Каковы будут две следующие дроби?
(34/55; 55/89;)

А числа 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34 и т. д. получили название "числа Фибоначчи". Раскройте тайну их образования. (Ученики должны сделать вывод: начиная с 3-ого числа, каждое следующие число равно сумме двух предыдущих).

Историческая справка:

Леонардо Пизанский (Пизано), он же Леонардо Фибоначчи (1180-1240)- Итальянский математик. Путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями Арабской математики, способствовал передаче их на Запад. Он первый пытался приложить знания по алгебре для геометрии, он открыл числа Фибоначчи, написал труды: "Книга абака", "Трактат по арифметике", "Практика по геометрии". Он же изучал и "Золотое сечение" или "Божественное деление отрезка".

Что же в математике называют "Золотым сечением"?
Возьмем отрезок АВ и точку С на нем.

Если отношение большей части отрезка ко всему отрезку равно 0,62 и отношение меньшей части отрезка к большей части отрезка тоже равно 0,62, то говорят что точка С делит отрезок АВ в "божественном отношении" или выполнено "Золотое сечение" т. е. АС : АВ = СВ : АС= 0,62.

Историческая справка: Впервые "Золотое сечение" встречается в школе Пифагорейцев (500 лет до н.э.), затем во второй книге "Начал" Евклида (300 лет до н.э.) дается его определение. С его помощью Евклид строил правильные 10-ти и 5-ти-угольники. В 1509 г. итальянский математик Лука Почоли пишет трактат о "Божественной пропорции".

Вопрос: Мне бы хотелось узнать, под чьим влиянием он это сделал? Там и встречается термин "Золотое сечение". А архитекторы времен античности и эпохи Возрождения применяют его в строительстве (показать рисунок из математического словаря Капеллы Пацци во Флоренции, архитектора Брунеллески, XV век. Стр. 219).

Построение "Золотого сечения":
1. Построить отрезок АВ.
2. Провести перпендикуляр через точку В.
3. Отложить отрезок ВК=1/2 АВ.
4. Точку А и К соединить.
5. Построить окружность с центром в точке К радиуса 1/2 АВ.
6. Эта окружность пересечет гипотенузу в точке D.
7. Построим окружность с центром в точке А, радиуса АD
8. Эта окружность пересечет отрезок АВ в искомой точке С.

АС/АВ=0, 62

Где же встречается "Золотое сечение"?

·         В архитектуре.

·         Соотношение длин частей пропорционально сложенного тела.

·         В ботанике (см. рис. цветка).

·         В изобразительном искусстве (дается слово ученикам художественной школы).

·         В геометрии и т.д.

Сегодня мы научимся строить звёзды.

     Дома вы уже пытались построить звезду. У некоторых они получились. Если поделить окружность на 5 центральных углов, т.е. построить углы в 72°, то эти точки на окружности будут вершинами звезды. Можно построить правильный десятиугольник, используя "золотое сечение". Если АВ - радиус окружности, то АС - сторона десятиугольника. Значит для построения будут нужны только линейка, треугольник и циркуль. Напоминаю вам, что карандаш и стержень циркуля должны быть остро отточены, а ножка циркуля должна хорошо фиксироваться. Выполним это построение. Если точки соединить последовательно, то получим правильный десятиугольник, а если соединить через одну, то получим правильный пятиугольник. Для построения звезды надо взять две окружности с общим центром, большую окружность с помощью "золотого сечения" поделить на десять равных частей. Тонкой линией провести радиусы, в определённой последовательности соединить концы этих радиусов. Чтобы получить красивую звезду, нужные линии обвести жирным карандашом, можно карандашом другого цвета, чтобы звезда получилась выпуклой, можно ввести штриховку.

Сравните ваши новые звёзды с теми, которые вы строили дома. Теперь вы знаете ещё один способ построения звезды, поэтому я предлагаю в начале следующего занятия провести конкурс "Красивых звезд".

Применение пропорциональности (из опыта учеников).
Пропорциональность широко применяется в ИЗО. Давайте дадим слово вашим товарищам из художественной школы. Как они применяют пропорциональность размеров при создании рисунка?

III. Подведение итогов:

При подведении итогов урока учитель задает традиционные вопросы:
Что узнали нового на занятии?
Где применяется пропорциональность?
Где встречается "Золотое сечение"?

IV. Домашнее задание:

1. Нарисовать на конкурс "Красивую звезду".
2. Проверить пропорциональность своего тела.
3. Найти в энциклопедии ответ на вопрос: Под чьим влиянием Лука Пачули написал трактат "О божественной пропорции".
4. Привести примеры применения рычага в быту и технике.

До свидания, ребята, мне с вами приятно было работать.

Критерии оценки учащихся: оценка "5" ставится за правильно рассчитанные и красиво построенные чертежи;
оценка "4" ставится за выполнение работы.